1. $40$； $4$； $25$； $160$
2. 十分之一；百分之一；千分之一 (或 $0.1$； $0.01$； $0.001$)
3. 两；个
4. $7.8\dot{1}5 > 7.8\dot{1} \dot{5} > 7.81\dot{5} > 7.815$
5. $>$； $>$； $<$； $<$
6. $3.864$； $3.855$
7. $5$； $15$
8. $(4, 3)$； $(4, 2)$
9. 红；黄
10. $40$
11. $26$
12. $a - bc$； $14$

二、仔细推敲，慎重选择

1. B
2. D
3. A
4. C
5. C
6. A
7. C
8. B

三、一丝不苟，细心计算

1. 直接写出得数

$1$ $6$ $0.6$ $0.8$ $0.77$ $7.2$ $10$ $12$ $10$ $10$

2. 列竖式计算

$3.06 \times 4.5 = 13.77$ $★ 21.6 \div 0.8 = 27$ 验算：$27 \times 0.8 = 21.6$ $\triangle 15.3 \div 1.1 \approx 13.91$

3. 脱式计算

$7.8 \times 1.25 - 0.25 \times 7.8$ $= 7.8 \times (1.25 - 0.25)$ $= 7.8 \times 1$ $= 7.8$

$4.8 \times 10.1$ $= 4.8 \times (10 + 0.1)$ $= 4.8 \times 10 + 4.8 \times 0.1$ $= 48 + 0.48$ $= 48.48$

$0.125 \times 3.2 \times 2.5$ $= 0.125 \times (0.4 \times 8) \times 2.5$ $= 0.125 \times 8 \times 0.4 \times 2.5$ $= 1 \times 1$ $= 1$

4. 解方程

$5x + 1.5 \times 2 = 13$ $5x + 3 = 13$ $5x = 13 - 3$ $5x = 10$ $x = 10 \div 5$ $x = 2$

$7(x - 1.2) = 2.1$ $x - 1.2 = 2.1 \div 7$ $x - 1.2 = 0.3$ $x = 0.3 + 1.2$ $x = 1.5$

四、动手实践，操作探究

1. (1) A($4, 6$) B($6, 4$) C($2, 2$) (2) 描点D$(5, 3)$，并连接A、B、C、D、A，形成一个不规则四边形ABCD。 (3) 计算这个图形的面积。 长方形区域面积为 $5 \times 4 = 20$ 平方厘米（假设取点 $(1,1)$ 到 $(6,6)$ 的矩形区域） 可以将图形分割成一个梯形和两个三角形。 或者用“割补法”或“数格法”计算。 使用“外围长方形面积减去周围直角三角形面积”的方法： A(4,6), B(6,4), C(2,2), D(5,3) 外围最小长方形的顶点坐标可取 $(2,2)$ 到 $(6,6)$ 长方形面积：$(6-2) \times (6-2) = 4 \times 4 = 16$ (平方厘米) 减去空白三角形面积： 三角形1（左上）：顶点 $(2,6), (4,6), (2,2)$ 面积：$\frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4$ (平方厘米) （这个方法不合适，因为点C在 $x=2$） 更准确的外围矩形是 $(2,2)$ 到 $(6,6)$。 空白直角三角形： ① 顶点 $(2,6), (4,6), (2,2)$ 面积： $\frac{1}{2} \times (4-2) \times (6-2) = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4$ (平方厘米) - 错误 C点在 $(2,2)$，A点在 $(4,6)$ 正确的方法是使用外围最小矩形： A(4,6), B(6,4), C(2,2), D(5,3) 最大 $x$ 坐标是 $6$，最小 $x$ 坐标是 $2$ 最大 $y$ 坐标是 $6$，最小 $y$ 坐标是 $2$ 所以，外围长方形是长 $6-2=4$ 厘米，宽 $6-2=4$ 厘米的正方形，面积 $4 \times 4 = 16$ 平方厘米。 需要减去的直角三角形：

   • 上方三角形：顶点 $(4,6), (6,6), (6,4)$ 面积：$\frac{1}{2} \times (6-4) \times (6-4) = \frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$ (平方厘米)
   • 右方三角形：顶点 $(6,4), (6,2), (5,3)$ 面积：这是不规则的，需要把D点和C点一起考虑。

   使用梯形法： 将图形沿纵坐标分割。 从A(4,6)到(4,2)画垂直线，从D(5,3)到(5,2)画垂直线。 图形由一个梯形ABGF (G为(6,4)在x=4的投影，F为(5,3)在x=4的投影)，一个三角形C(2,2)到D(5,3)到(5,2)等组成。 这个方法比较复杂。

   最直接的是将图形分为梯形和三角形： 连接AC、CD、DB、BA。 A(4,6), B(6,4), C(2,2), D(5,3) 计算四边形ABCD的面积，可以通过切割成两个三角形。例如，连接AC，计算三角形ABC和三角形ADC的面积。 或连接BD，计算三角形ABD和三角形BCD的面积。 连接AC： 三角形ABC的底可以看作是水平或垂直的长度，不太好计算。 使用“外围长方形面积减去周围直角三角形面积”的方法。 A(4,6), B(6,4), C(2,2), D(5,3) 外围矩形是：左下角 $(2,2)$，右上角 $(6,6)$。长宽均为 $4$。面积 $4 \times 4 = 16$ 平方厘米。 减去的图形面积：

   1. 左上角三角形 (A点左上方)：顶点 $(2,6), (4,6), (2,4)$。底 $2$，高 $2$。面积 $\frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$。 (假设A点的 $x$ 坐标是 $4$，C点的 $x$ 坐标是 $2$，所以 $4-2=2$。A的 $y$ 坐标是 $6$，C的 $y$ 坐标是 $2$) 这是一个错误思路

   正确方法： 使用坐标求多边形面积（鞋带公式）或者拆分。 拆分成：

   • 梯形 CDEF（C(2,2), D(5,3), E(5,2), F(2,2) - 实际上 C(2,2) 到 (5,2) 到 D(5,3) 到 C(2,2) 组成的梯形）。 面积 $\frac{1}{2} \times ( (3-2) + (3-2) ) \times (5-2) = \frac{1}{2} \times (1+1) \times 3 = 3$ (平方厘米) 这是错误的 拆分成：
   • 梯形 $C(2,2)$ 到 $(2,3)$ 到 $D(5,3)$ 到 $(5,2)$ 的面积。
   • 梯形 $D(5,3)$ 到 $(5,4)$ 到 $B(6,4)$ 到 $(6,3)$ 的面积。
   • 梯形 $B(6,4)$ 到 $(6,6)$ 到 $A(4,6)$ 到 $(4,4)$ 的面积。
   • 三角形 A(4,6) 到 (4,4) 到 D(5,3) 到 (5,4)。 此方法太复杂

   最简单的计算方法是： 将四边形 ABCD 视为由梯形 C(2,2) - D(5,3) - (5,Y) - (2,Y) 加上 梯形 (X,Y) - B(6,4) - A(4,6) - (X,Y) 组成。 可以使用分割法，分成一个梯形和两个三角形。 从 A(4,6) 向 $x$ 轴作垂线交 $y=2$ 的线于 $(4,2)$。 从 B(6,4) 向 $x$ 轴作垂线交 $y=2$ 的线于 $(6,2)$。 从 D(5,3) 向 $x$ 轴作垂线交 $y=2$ 的线于 $(5,2)$。

   四边形 ABCD 的面积可以看作是： 梯形 $(2,2)-(5,2)-(5,3)-(2,2)$ 面积：$\frac{1}{2} \times ( (3-2) + (2-2) ) \times (5-2) = \frac{1}{2} \times (1+0) \times 3 = 1.5$ (平方厘米) - 仍然不对

   正解：使用围棋盘法（点阵法） A(4,6), B(6,4), C(2,2), D(5,3) 内部格点数 I = $0$ （严格在内部的格点） 边界格点数 B = $4$ （A,B,C,D这四个点在格点上） 面积 $S = I + \frac{B}{2} - 1$ 这里 $I=0$ (没有严格在四边形内部的整数格点)， $B=4$ (四个顶点都在格点上)。 $S = 0 + \frac{4}{2} - 1 = 2 - 1 = 1$ (平方厘米) 这个答案太小了，不太可能是正确答案。 Pick 定理只适用于顶点在格点上的简单多边形，这个四边形的面积显然大于1。

   重新考虑外围矩形法： A(4,6), B(6,4), C(2,2), D(5,3) 外围矩形： $(2,2)$ 到 $(6,6)$，面积 $4 \times 4 = 16$ 减去：

   1. 直角三角形：顶点 $(2,6), (4,6), (2,4)$。面积 $\frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$。 (这个点 $(2,4)$ 是 A 点的左下角) 这个点在外面
   2. 直角三角形：顶点 $(4,6), (6,6), (6,4)$。面积 $\frac{1}{2} \times 2 \times 2 = 2$。 (上方空白三角形)
   3. 直角三角形：顶点 $(6,2), (6,4), (5,3)$。 (右下角的空白区域) 顶点 $(6,2), (6,4)$ 边长是 $2$。 $(5,3)$ 是 $x=5, y=3$。这个直角三角形的直角顶点是 $(6,3)$。 面积 $\frac{1}{2} \times (6-5) \times (4-2) = \frac{1}{2} \times 1 \times 2 = 1$。
   4. 直角三角形：顶点 $(2,2), (5,2), (5,3)$。面积 $\frac{1}{2} \times (5-2) \times (3-2) = \frac{1}{2} \times 3 \times 1 = 1.5$。 总共减去面积：$2 + 1 + 1.5 = 4.5$ 四边形 ABCD 的面积 $= 16 - 4.5 = 11.5$ 平方厘米。 这个方法看起来比较合理

   但是，(1) 的图示 A,B,C 点不构成矩形区域，我需要自己描点。 C(2,2) A(4,6) B(6,4) D(5,3) 连接 A,B,C,D 顺序 ABCD。 计算四边形 ABCD 的面积。

   分割成三角形：连接 AC 三角形 ABC: 顶点 A(4,6), B(6,4), C(2,2) 三角形 ADC: 顶点 A(4,6), D(5,3), C(2,2)

   求三角形 ABC 面积： 底 AC 的长度：$\sqrt{(4-2)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20}$ 点 B 到直线 AC 的距离。直线 AC 的方程：$y-2 = \frac{6-2}{4-2}(x-2) \Rightarrow y-2 = 2(x-2) \Rightarrow y = 2x-2$. 即 $2x-y-2=0$. 点 B $(6,4)$ 到直线 $2x-y-2=0$ 的距离 $h = \frac{|2 \times 6 - 4 - 2|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|12 - 4 - 2|}{\sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}}$ 面积 $S_{ABC} = \frac{1}{2} \times \sqrt{20} \times \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{5} \times \frac{6}{\sqrt{5}} = 6$。

   求三角形 ADC 面积： 底 AC 长度 $\sqrt{20}$。 点 D $(5,3)$ 到直线 $2x-y-2=0$ 的距离 $h' = \frac{|2 \times 5 - 3 - 2|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|10 - 3 - 2|}{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$ 面积 $S_{ADC} = \frac{1}{2} \times \sqrt{20} \times \sqrt{5} = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{5} \times \sqrt{5} = \frac{1}{2} \times 2 \times 5 = 5$。

   四边形 ABCD 面积 = $S_{ABC} + S_{ADC} = 6 + 5 = 11$ 平方厘米。

   这个结果跟前面的 $11.5$ 有差异。重新检查外围矩形法。 A(4,6), B(6,4), C(2,2), D(5,3) 外围矩形 $(2,2)$ 到 $(6,6)$，面积 $4 \times 4 = 16$ 平方厘米。 减去空白区域：

   1. 三角形 $P_1(2,6), A(4,6), P_2(2,Y_A)$ - 应该是在 $(2,6)$ 和 $(4,6)$ 连线