一、知识点概览

人教版小学数学四年级下册的期末复习主要涵盖以下几个核心知识点：

• 四则运算: 理解四则运算的意义，掌握带括号的四则混合运算的顺序。
• 观察物体: 从不同角度观察物体，识别从正面、上面、侧面看到的形状。
• 运算定律与简便计算: 熟练运用加法、乘法的交换律、结合律以及乘法分配律进行简便计算，理解减法和除法的性质。
• 小数的意义和性质: 理解小数的意义，掌握小数的读写、组成、大小比较、单位换算、化简与改写，以及小数点移动引起小数大小变化的规律和求近似数的方法。
• 三角形: 认识三角形，掌握三角形的分类（按角和按边），理解三角形内角和是 $180^\circ$ 以及三角形两边之和大于第三边。
• 小数的加法和减法: 掌握小数加减法的计算方法，能正确进行计算。
• 图形的运动: 认识平移和旋转现象，能在方格纸上画出简单图形平移后的图形。
• 平均数与统计: 理解平均数的意义和计算方法，能解决简单的求平均数问题。

二、重点公式与概念

1. 四则运算顺序

• 同级运算，从左往右依次计算。
• 不同级运算，先乘除后加减。
• 有括号的运算，先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算大括号里面的。

2. 运算定律与简便计算

• 加法交换律: $a + b = b + a$
• 加法结合律: $(a + b) + c = a + (b + c)$
• 减法的性质: $a - b - c = a - (b + c)$
• 乘法交换律: $a \times b = b \times a$
• 乘法结合律: $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$
• 乘法分配律: $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$ $a \times (b - c) = a \times b - a \times c$
• 除法的性质: $a \div b \div c = a \div (b \times c)$

3. 小数的意义和性质

• 小数的数位顺序: 整数部分（个位、十位、百位...），小数点，小数部分（十分位、百分位、千分位...）。
• 小数的性质: 小数的末尾添上“$0$”或者去掉“$0$”，小数的大小不变。
• 小数点移动规律:
  • 小数点向右移动一位，小数扩大到原来的 $10$ 倍；移动两位，扩大到原来的 $100$ 倍，以此类推。
  • 小数点向左移动一位，小数缩小到原来的 $\frac{1}{10}$；移动两位，缩小到原来的 $\frac{1}{100}$，以此类推。
• 求近似数的方法: 四舍五入法（根据要求保留到某一位，看它后一位的数字，若 $\ge 5$ 则进一，若 $< 5$ 则舍去）。

4. 三角形

• 三角形内角和: 任意一个三角形的内角和都是 $180^\circ$。 $\text{角}1 + \text{角}2 + \text{角}3 = 180^\circ$
• 三角形两边之和大于第三边: 任意一个三角形，其中任意两边之和都大于第三边。 $a + b > c$ $a + c > b$ $b + c > a$
• 三角形的分类:
  • 按角分: 锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角是直角）、钝角三角形（有一个角是钝角）。
  • 按边分: 不等边三角形（三条边都不相等）、等腰三角形（有两条边相等）、等边三角形（三条边都相等，也叫正三角形）。

5. 平均数

• 平均数计算公式: $\text{平均数} = \frac{\text{总数量}}{\text{总份数}}$

三、典型例题与详细解析

例题一：四则混合运算

计算：$125 \times 8 - (320 + 240) \div 7$

解析: 根据四则运算顺序，先算小括号里面的加法，然后算乘法和除法，最后算减法。

$$\begin{align*} & 125 \times 8 - (320 + 240) \div 7 \\ = & 125 \times 8 - 560 \div 7 \\ = & 1000 - 80 \\ = & 920 \end{align*}$$

例题二：简便计算

请用简便方法计算下列各题。

1. $48 \times 125$
2. $101 \times 56$
3. $7.5 + 3.8 + 2.5 + 6.2$

解析:

1. $48 \times 125$ 思路: 将 $48$ 拆分成 $6 \times 8$，利用乘法结合律，使 $8$ 与 $125$ 相乘得到 $1000$，简化计算。 $$\begin{align*} & 48 \times 125 \\ = & (6 \times 8) \times 125 \\ = & 6 \times (8 \times 125) \\ = & 6 \times 1000 \\ = & 6000 \end{align*}$$
2. $101 \times 56$ 思路: 将 $101$ 拆分成 $100 + 1$，利用乘法分配律，简化计算。 $$\begin{align*} & 101 \times 56 \\ = & (100 + 1) \times 56 \\ = & 100 \times 56 + 1 \times 56 \\ = & 5600 + 56 \\ = & 5656 \end{align*}$$
3. $7.5 + 3.8 + 2.5 + 6.2$ 思路: 观察数字，发现 $7.5$ 和 $2.5$ 相加可以得到整数 $10$；$3.8$ 和 $6.2$ 相加也可以得到整数 $10$。利用加法交换律和结合律进行简便计算。 $$\begin{align*} & 7.5 + 3.8 + 2.5 + 6.2 \\ = & (7.5 + 2.5) + (3.8 + 6.2) \\ = & 10 + 10 \\ = & 20 \end{align*}$$

例题三：小数的意义和性质

1. 把“七点零八”写成小数。
2. 比较大小：$0.508 \quad \bigcirc \quad 0.58$
3. 把 $3.5$ 改写成小数部分是三位的小数。

解析:

1. “七点零八”写作：$7.08$S。
2. 比较 $0.508$ 和 $0.58$ 的大小。 思路: 比较小数大小时，先比较整数部分，整数部分相同的，再从十分位开始逐位比较。 整数部分都是 $0$。 十分位都是 $5$。 百分位 $0.508$ 是 $0$，而 $0.58$ 是 $8$。因为 $0 < 8$，所以 $0.508 < 0.58$。 因此，$0.508 \quad < \quad 0.58$。
3. 把 $3.5$ 改写成小数部分是三位的小数。 思路: 根据小数的性质，在小数的末尾添上“$0$”，小数的大小不变。 $3.5$ 改写成小数部分是三位的小数是 $3.500$。

例题四：小数的加法和减法

计算：$15.6 - 3.45 + 6.28$

解析: 小数加减法与整数加减法类似，只是要注意将小数点对齐，即相同数位对齐。 本题按照从左到右的顺序计算。

$$\begin{align*} & 15.6 - 3.45 + 6.28 \\ = & 12.15 + 6.28 \\ = & 18.43 \end{align*}$$

竖式计算:

  15.60
-  3.45
-------
  12.15

  12.15
+  6.28
-------
  18.43

例题五：三角形

1. 一个三角形有两个角分别是 $45^\circ$ 和 $60^\circ$，求第三个角的度数，并判断这个三角形是什么三角形。
2. 下面三组线段的长度能否围成一个三角形？
   • $3$ 厘米、$4$ 厘米、$5$ 厘米
   • $3$ 厘米、$4$ 厘米、$8$ 厘米

解析:

1. 求第三个角的度数: 思路: 根据三角形内角和是 $180^\circ$ 的性质，用 $180^\circ$ 减去已知两个角的和即可。 第三个角的度数 $= 180^\circ - (45^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ$。 判断三角形类型: 三个角分别为 $45^\circ$、$60^\circ$、$75^\circ$。因为三个角都小于 $90^\circ$，所以这个三角形是锐角三角形。 补充: 因为三个角都不同，所以它也是一个不等边三角形。

2. 判断能否围成三角形: 思路: 根据三角形两边之和大于第三边的性质，分别检查每组线段是否满足条件。

   • $3$ 厘米、$4$ 厘米、$5$ 厘米: $3 + 4 = 7$，$7 > 5$ $3 + 5 = 8$，$8 > 4$ $4 + 5 = 9$，$9 > 3$ 所有条件都满足，所以能围成一个三角形。

   • $3$ 厘米、$4$ 厘米、$8$ 厘米: $3 + 4 = 7$，$7 < 8$ 因为 $3 + 4$ 不大于 $8$，不满足两边之和大于第三边的条件，所以不能围成一个三角形。

例题六：平均数

某小组 $4$ 名同学参加植树活动，分别植树 $25$ 棵、$30$ 棵、$35$ 棵、$40$ 棵。这个小组平均每人植树多少棵？

解析: 思路: 根据平均数的计算公式，先求出总棵树，再除以总人数。

总棵树 $= 25 + 30 + 35 + 40 = 130$ (棵) 总人数 $= 4$ (人)

平均每人植树棵数 $= \frac{\text{总棵树}}{\text{总人数}} = \frac{130}{4} = 32.5$ (棵)

答：这个小组平均每人植树 $32.5$ 棵。