一、知识点概览

• 口算除法： 掌握两位数除整十、整百数的口算方法。
• 笔算除法：
  • 掌握除数是两位数的除法，包括商是一位数和商是两位数的除法。
  • 理解并运用试商的方法，主要是将除数“四舍五入”看作接近的整十数进行试商。
  • 明确笔算除法的计算顺序：从被除数的高位除起。
  • 掌握商的书写位置：商的最高位要写在与被除数的相同数位的上面。
  • 强调余数必须比除数小的重要性。
  • 理解商中间有 $0$ 或商末尾有 $0$ 的除法情况。
• 商的变化规律： 理解被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（零除外），商不变的规律。
• 平均数的概念及计算方法： 理解平均数的意义，并能运用除法计算平均数。
• 解决与除法相关的实际问题： 能够运用所学知识解决生活中的实际问题，包括有余数的除法应用题。

二、重点公式与概念

• 除法算式中各部分的关系
  • 被除数 $\div$ 除数 $=$ 商
  • 商 $\times$ 除数 $=$ 被除数
  • 被除数 $\div$ 商 $=$ 除数
• 有余数的除法算式中各部分的关系
  • 被除数 $=$ 除数 $\times$ 商 $+$ 余数
  • 重要提示： 余数 $<$ 除数
• 平均数
  • 概念： 平均数是总数量除以总份数得到的数量。它反映的是一组数据的一般水平。
  • 公式： 平均数 $=$ 总数量 $\div$ 总份数
• 商不变的性质
  • 内容： 在除法中，被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（零除外），商不变。
  • 数学表达式： $a \div b = (a \times c) \div (b \times c)$ $a \div b = (a \div c) \div (b \div c)$ （其中 $b \ne 0, c \ne 0$）

三、典型例题与详细解析

例题一：口算除法

题目： 计算下面各题。

1. $180 \div 30 =$
2. $350 \div 70 =$
3. $4200 \div 60 =$

解析： 口算除法，可以想乘法算除法，也可以利用商不变的性质，把被除数和除数都看作整十数，约去末尾的 $0$ 后进行计算。

1. $180 \div 30$：可以想 $30 \times 6 = 180$，所以 $180 \div 30 = 6$。
2. $350 \div 70$：可以想 $70 \times 5 = 350$，所以 $350 \div 70 = 5$。
3. $4200 \div 60$：可以先将 $4200$ 和 $60$ 同时除以 $10$，变成 $420 \div 6 = 70$，所以 $4200 \div 60 = 70$。

答案：

1. $6$
2. $5$
3. $70$

---

例题二：笔算除法（除数是两位数，商是一位数）

题目： 竖式计算。

1. $224 \div 28 =$
2. $378 \div 42 =$

解析： 进行除数是两位数的笔算时，首先要看被除数的前两位。如果前两位不够除，就看前三位。试商时，运用“四舍五入”法将除数看作整十数来试商。

1. $224 \div 28$：

   • 被除数前两位 $22$ 小于 $28$，所以商的最高位在个位，看被除数的前三位 $224$。
   • 将 $28$ 看作 $30$ 来试商。 $224 \div 30 \approx 7$。 尝试商 $7$。
   • $28 \times 7 = 196$。
   • $224 - 196 = 28$。
   • 余数 $28$ 等于除数 $28$，说明商 $7$ 小了，应改商 $8$。
   • 尝试商 $8$。
   • $28 \times 8 = 224$。
   • $224 - 224 = 0$。
   $$\begin{array}{r} 8 \\ 28 \overline{) 224} \\ -224 \\ \hline 0 \end{array}$$

   所以 $224 \div 28 = 8$。

2. $378 \div 42$：

   • 被除数前两位 $37$ 小于 $42$，所以商的最高位在个位，看被除数的前三位 $378$。
   • 将 $42$ 看作 $40$ 来试商。 $378 \div 40 \approx 9$。 尝试商 $9$。
   • $42 \times 9 = 378$。
   • $378 - 378 = 0$。
   $$\begin{array}{r} 9 \\ 42 \overline{) 378} \\ -378 \\ \hline 0 \end{array}$$

   所以 $378 \div 42 = 9$。

答案：

1. $8$
2. $9$

---

例题三：笔算除法（除数是两位数，商是两位数）

题目： 竖式计算。

1. $936 \div 36 =$
2. $704 \div 22 =$

解析： 当被除数的前两位数大于或等于除数时，商的最高位是十位。计算过程中要遵循“一算（试商）、二乘、三减、四比较（余数小于除数）、五落（落下一位）”的步骤。

1. $936 \div 36$：

   • 被除数前两位 $93$ 大于 $36$，商的最高位在十位。
   • 将 $36$ 看作 $40$ 试商。 $93 \div 40 \approx 2$。 尝试商 $2$。
   • $36 \times 2 = 72$。
   • $93 - 72 = 21$。
   • 余数 $21$ 小于除数 $36$，商 $2$ 合适。在十位上写 $2$。
   • 将个位的 $6$ 落下来，组成 $216$。
   • 继续用 $216$ 除以 $36$。 将 $36$ 看作 $40$ 试商。 $216 \div 40 \approx 5$。 尝试商 $5$。
   • $36 \times 5 = 180$。
   • $216 - 180 = 36$。
   • 余数 $36$ 等于除数 $36$，说明商 $5$ 小了，应改商 $6$。
   • 尝试商 $6$。
   • $36 \times 6 = 216$。
   • $216 - 216 = 0$。在个位上写 $6$。
   $$\begin{array}{r} 26 \\ 36 \overline{) 936} \\ -72 \downarrow \\ \hline 216 \\ -216 \\ \hline 0 \end{array}$$

   所以 $936 \div 36 = 26$。

2. $704 \div 22$：

   • 被除数前两位 $70$ 大于 $22$，商的最高位在十位。
   • 将 $22$ 看作 $20$ 试商。 $70 \div 20 \approx 3$。 尝试商 $3$。
   • $22 \times 3 = 66$。
   • $70 - 66 = 4$。
   • 余数 $4$ 小于除数 $22$，商 $3$ 合适。在十位上写 $3$。
   • 将个位的 $4$ 落下来，组成 $44$。
   • 继续用 $44$ 除以 $22$。 将 $22$ 看作 $20$ 试商。 $44 \div 20 \approx 2$。 尝试商 $2$。
   • $22 \times 2 = 44$。
   • $44 - 44 = 0$。在个位上写 $2$。
   $$\begin{array}{r} 32 \\ 22 \overline{) 704} \\ -66 \downarrow \\ \hline 44 \\ -44 \\ \hline 0 \end{array}$$

   所以 $704 \div 22 = 32$。

答案：

1. $26$
2. $32$

---

例题四：商的变化规律

题目： 根据 $480 \div 40 = 12$，直接写出下列算式的得数。

1. $(480 \div 10) \div (40 \div 10) =$
2. $(480 \times 3) \div (40 \times 3) =$
3. $960 \div 80 =$

解析： 这道题考查商不变的性质。即被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（零除外），商不变。

1. $(480 \div 10) \div (40 \div 10)$：被除数 $480$ 和除数 $40$ 都同时除以 $10$，根据商不变的性质，商仍然是 $12$。
2. $(480 \times 3) \div (40 \times 3)$：被除数 $480$ 和除数 $40$ 都同时乘 $3$，根据商不变的性质，商仍然是 $12$。
3. $960 \div 80$：$960$ 是 $480$ 的 $2$ 倍 ($480 \times 2 = 960$)，$80$ 是 $40$ 的 $2$ 倍 ($40 \times 2 = 80$)。被除数和除数都同时乘 $2$，根据商不变的性质，商仍然是 $12$。

答案：

1. $12$
2. $12$
3. $12$

---

例题五：解决实际问题（平均数）

题目： 学校购买了 $6$ 箱图书，每箱有 $40$ 本。这些图书要平均分给 $8$ 个班级，每个班级能分到多少本？

解析： 要求每个班级能分到多少本，首先需要计算出图书的总数量，然后用总数量除以班级数量。

• 第一步：计算图书总数量。 总数量 $=$ 每箱本数 $\times$ 箱数 总数量 $= 40 \times 6 = 240$（本）
• 第二步：计算每个班级分到的本数。 每个班级分到的本数 $=$ 总数量 $\div$ 班级数 每个班级分到的本数 $= 240 \div 8 = 30$（本）

列式计算： $40 \times 6 \div 8$ $= 240 \div 8$ $= 30$（本）

答： 每个班级能分到 $30$ 本。

---

例题六：解决实际问题（带余数的除法）

题目： 王老师有 $200$ 元钱，用来买单价 $35$ 元一个的足球。王老师最多可以买多少个足球？还剩下多少元钱？

解析： 这道题是典型的带有余数的除法问题，需要用总钱数除以每个足球的单价。商表示最多可以买的足球数量，余数表示剩下的钱数。

• 列式： $200 \div 35$

• 竖式计算：

  $$\begin{array}{r} 5 \\ 35 \overline{) 200} \\ -175 \\ \hline 25 \end{array}$$
  • 被除数前两位 $20$ 小于 $35$，所以商的最高位在个位，看被除数的前三位 $200$。
  • 将 $35$ 看作 $40$ 试商。 $200 \div 40 = 5$。 尝试商 $5$。
  • $35 \times 5 = 175$。
  • $200 - 175 = 25$。
  • 余数 $25$ 小于除数 $35$，商 $5$ 合适。
  • 所以商是 $5$，余数是 $25$。

答： 王老师最多可以买 $5$ 个足球，还剩下 $25$ 元钱。